کیا PSPACE کلاس EXPSPACE کلاس کے برابر نہیں ہے؟
یہ سوال کہ آیا PSPACE کلاس EXPSPACE کلاس کے برابر نہیں ہے کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری میں ایک بنیادی اور حل طلب مسئلہ ہے۔ ایک جامع تفہیم فراہم کرنے کے لیے، ان پیچیدگیوں کی کلاسوں کی تعریفوں، خصوصیات اور مضمرات کے ساتھ ساتھ خلائی پیچیدگی کے وسیع تر تناظر پر غور کرنا ضروری ہے۔
تعریفیں اور بنیادی خصوصیات
PSPACE: کلاس PSPACE تمام فیصلوں کے مسائل پر مشتمل ہے جو کہ ایک ٹورنگ مشین کے ذریعے کثیر مقدار میں جگہ کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ باضابطہ طور پر، ایک زبان L PSPACE میں ہوتی ہے اگر ٹیورنگ مشین M اور ایک کثیر الثانی فعل p(n) موجود ہو جیسے کہ ہر ان پٹ x کے لیے، مشین M فیصلہ کرتی ہے کہ آیا x زیادہ سے زیادہ p(|x|) جگہ استعمال کرتے ہوئے L میں ہے۔ PSPACE مسائل کی ایک وسیع رینج کو گھیرے ہوئے ہے، بشمول وہ مسائل جو کثیر الثانی وقت (P) میں قابل حل ہیں اور وہ جو PSPACE کے لیے مکمل ہیں، جیسے Quantified Boolean Formula (QBF) مسئلہ۔
EXPSPACE: کلاس EXPSPACE میں فیصلہ کرنے کے تمام مسائل شامل ہیں جو کہ ٹیورنگ مشین کے ذریعے ایک کفایتی جگہ کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، ایک زبان L EXPSPACE میں ہے اگر ٹیورنگ مشین M اور ایک exponential فنکشن f(n) موجود ہے جیسے کہ ہر ان پٹ x کے لیے، مشین M فیصلہ کرتی ہے کہ آیا x L میں ہے یا نہیں زیادہ سے زیادہ 2^f(|x|) کا استعمال کرتے ہوئے جگہ EXPSPACE PSPACE سے بڑی کلاس ہے، کیونکہ یہ تیزی سے زیادہ جگہ کی اجازت دیتا ہے، مسائل کی وسیع رینج کے حل کو فعال کرتا ہے۔
PSPACE اور EXPSPACE کے درمیان تعلق
PSPACE اور EXPSPACE کے درمیان تعلق کو سمجھنے کے لیے، خلائی پیچیدگی کی کلاسوں کے درجہ بندی کو پہچاننا ضروری ہے۔ تعریف کے مطابق، PSPACE EXPSPACE کے اندر موجود ہے کیونکہ کوئی بھی مسئلہ جو کثیرالاضلاع اسپیس کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے اسے ایکسپونینشل اسپیس کے استعمال سے بھی حل کیا جا سکتا ہے۔ رسمی طور پر، PSPACE ⊆ EXPSSPACE۔ تاہم، بات چیت ضروری نہیں کہ سچ ہو۔ یہ بڑے پیمانے پر خیال کیا جاتا ہے کہ EXPSPACE میں ایسے مسائل ہوتے ہیں جنہیں کثیرالاضلاع جگہ کے استعمال سے حل نہیں کیا جا سکتا، جس کا مطلب یہ ہے کہ PSPACE ≠ EXPSPACE۔
مثالیں اور مضمرات
QBF مسئلہ پر غور کریں، جو PSPACE-مکمل ہے۔ اس مسئلے میں ایک مقداری بولین فارمولے کی سچائی کا تعین کرنا شامل ہے، اور اسے کثیرالاضلاع جگہ کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ QBF PSPACE-مکمل ہے، اس لیے PSPACE میں کسی بھی مسئلے کو متعدد وقت میں QBF تک کم کیا جا سکتا ہے۔ دوسری طرف، EXPSPACE میں ایک مسئلہ کی ایک مثال لیکن ضروری نہیں کہ PSPACE میں ایکسپونینشل اسپیس باؤنڈز کے ساتھ ٹورنگ مشینوں کو تبدیل کرنے کے لیے قابل رسائی مسئلہ ہے۔ اس مسئلے کے لیے بہت سے کنفیگریشنز کو تیزی سے ٹریک کرنے کی ضرورت ہے، جو کہ کثیرالاضلاع جگہ کے ساتھ ناقابل عمل ہے۔
خلائی درجہ بندی کا نظریہ
خلائی درجہ بندی کا نظریہ اس یقین کے لیے ایک رسمی بنیاد فراہم کرتا ہے کہ PSPACE سختی سے EXPSPACE کے اندر موجود ہے۔ یہ نظریہ کہتا ہے کہ کسی بھی خلائی تعمیراتی فعل f(n) کے لیے، ایک زبان موجود ہوتی ہے جس کا فیصلہ اسپیس f(n) میں کیا جاسکتا ہے لیکن اسپیس o(f(n) میں نہیں۔ اس تھیوریم کو f(n) = 2^n کے ساتھ لاگو کرتے ہوئے، ہم یہ حاصل کرتے ہیں کہ ایکسپونینشل اسپیس میں حل کرنے کے قابل مسائل موجود ہیں جو کسی بھی ذیلی اکسپونشنل اسپیس میں حل نہیں کیے جاسکتے ہیں، بشمول کثیر اسپیس۔ لہذا، خلائی درجہ بندی کا نظریہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ PSPACE سختی سے EXPSPACE کے اندر موجود ہے، یعنی PSPACE ⊂ EXPSPACE۔
PSPACE کی غیر حل شدہ نوعیت ≠ EXPSPACE
خلائی درجہ بندی تھیوریم کی طرف سے فراہم کردہ مضبوط ثبوت کے باوجود، یہ سوال کہ آیا PSPACE EXPSPACE کے برابر نہیں ہے، حل طلب ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ سخت عدم مساوات کو ثابت کرنے کے لیے PSPACE ≠ EXPSPACE کو EXPSPACE میں ایک مخصوص مسئلے کی موجودگی کو ظاہر کرنے کی ضرورت ہوگی جسے PSPACE میں حل نہیں کیا جا سکتا، جو آج تک پورا نہیں ہوا ہے۔ مشکل پیچیدگی کی کلاسوں کے درمیان علیحدگی کو ثابت کرنے کے موروثی چیلنجوں میں مضمر ہے، کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری میں ایک عام موضوع۔
وسیع تر سیاق و سباق اور متعلقہ پیچیدگی کی کلاسیں۔
PSPACE اور EXPSPACE کے درمیان تعلقات کو پیچیدگی کی کلاسوں کے وسیع تر منظرنامے کے اندر سیاق و سباق کے مطابق بنایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کلاس P (کثیریت وقت میں حل ہونے والے مسائل) PSPACE کا ایک ذیلی سیٹ ہے، اور یہ بڑے پیمانے پر مانا جاتا ہے کہ P ≠ PSPACE۔ اسی طرح، کلاس NP (غیر متعین کثیر نامی وقت) بھی PSPACE کے اندر موجود ہے، اور مشہور P بمقابلہ NP مسئلہ میدان میں ایک مرکزی کھلا سوال ہے۔ ان کلاسوں کے درمیان کنٹینمنٹ تعلقات کا خلاصہ اس طرح کیا گیا ہے:
– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSSPACE
ان کلاسوں کے علاوہ، خلائی پیچیدگی کی دوسری اہم کلاسیں بھی ہیں، جیسے L (لوگارتھمک اسپیس) اور NL (نان ڈیٹرمینسٹک لوگارتھمک اسپیس)، جو PSPACE کے ذیلی سیٹ ہیں۔ ان طبقات کے درمیان تعلقات خلائی تقاضوں پر مبنی کمپیوٹیشنل پیچیدگی کے درجہ بندی کو مزید واضح کرتے ہیں۔
یہ سوال کہ آیا PSPACE EXPSPACE کے برابر نہیں ہے کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری میں ایک بنیادی اور حل طلب مسئلہ ہے۔ جبکہ خلائی درجہ بندی کا نظریہ اس بات کا پختہ ثبوت فراہم کرتا ہے کہ PSPACE سختی سے EXPSPACE کے اندر موجود ہے، PSPACE ≠ EXPSPACE کی سخت عدم مساوات کا ایک باضابطہ ثبوت اب بھی مبہم ہے۔ اس سوال کی تلاش پیچیدگی والے طبقوں کے وسیع منظرنامے اور ان کے درمیان علیحدگی کو ثابت کرنے کے موروثی چیلنجوں پر روشنی ڈالتی ہے۔
سے متعلق دیگر حالیہ سوالات اور جوابات پیچیدگی:
- کیا P پیچیدگی کلاس PSPACE کلاس کا سب سیٹ ہے؟
- کیا ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ Np اور P کلاس یکساں ہیں کسی بھی NP مکمل مسئلے کے لیے ایک مؤثر کثیر الثانی حل تلاش کر کے ایک deterministic TM پر؟
- کیا NP کلاس EXPTIME کلاس کے برابر ہو سکتی ہے؟
- کیا PSPACE میں ایسے مسائل ہیں جن کے لیے کوئی معلوم NP الگورتھم نہیں ہے؟
- کیا SAT کا مسئلہ NP مکمل مسئلہ ہوسکتا ہے؟
- کیا NP پیچیدگی کی کلاس میں کوئی مسئلہ ہو سکتا ہے اگر کوئی نان ڈیٹرمنسٹک ٹیورنگ مشین ہو جو اسے کثیر وقت میں حل کر دے
- NP زبانوں کی کلاس ہے جس میں متعدد وقت کی تصدیق ہوتی ہے۔
- کیا P اور NP دراصل ایک ہی پیچیدگی کی کلاس ہے؟
- کیا P پیچیدگی کی کلاس میں ہر سیاق و سباق سے پاک زبان ہے؟
- کیا پولنومیل ٹائم ویریفائرز کے ساتھ فیصلہ کن مسائل کی ایک کلاس کے طور پر NP کی تعریف اور اس حقیقت کے درمیان کوئی تضاد ہے کہ کلاس P میں مسائل میں بھی polynomial-time verifiers ہوتے ہیں؟
Complexity میں مزید سوالات اور جوابات دیکھیں