اس بارے میں استفسار کہ آیا ٹورنگ مشینوں کے تمام مختلف تغیرات کمپیوٹنگ کی صلاحیت میں مساوی ہیں نظریاتی کمپیوٹر سائنس کے میدان میں ایک بنیادی سوال ہے، خاص طور پر کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری اور فیصلہ کن صلاحیت کے مطالعہ کے اندر۔ اس سے نمٹنے کے لیے، ٹورنگ مشینوں کی نوعیت اور کمپیوٹیشنل مساوات کے تصور پر غور کرنا ضروری ہے۔
ٹورنگ مشین حساب کا ایک تجریدی ریاضیاتی ماڈل ہے جسے ایلن ٹیورنگ نے 1936 میں متعارف کرایا تھا۔ یہ ایک لامحدود ٹیپ، ایک ٹیپ ہیڈ پر مشتمل ہے جو ٹیپ پر علامتوں کو پڑھ اور لکھ سکتا ہے، ریاستوں کا ایک محدود سیٹ، اور ایک ٹرانزیشن فنکشن جو موجودہ حالت اور پڑھی جانے والی علامت کی بنیاد پر مشین کے اعمال کا حکم دیتا ہے۔ معیاری ٹورنگ مشین، جسے اکثر "کلاسیکی" یا "سنگل ٹیپ" ٹورنگ مشین کہا جاتا ہے، کمپیوٹیشنل عمل کی وضاحت کے لیے بنیادی ماڈل کے طور پر کام کرتی ہے۔
ٹورنگ مشینوں کی کئی مختلف حالتیں ہیں، ہر ایک مختلف کنفیگریشنز یا اضافہ کے ساتھ۔ کچھ قابل ذکر تغیرات میں شامل ہیں:
1. ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشینیں۔: ان مشینوں میں ایک سے زیادہ ٹیپ اور متعلقہ ٹیپ ہیڈ ہوتے ہیں۔ ہر ٹیپ آزادانہ طور پر کام کرتی ہے، اور منتقلی کا فنکشن تمام ٹیپس سے پڑھے جانے والے علامات پر منحصر ہو سکتا ہے۔ بڑھتی ہوئی پیچیدگی کے باوجود، ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشینیں کمپیوٹیشنل طور پر سنگل ٹیپ ٹورنگ مشینوں کے مساوی ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشین کے ذریعہ کی جانے والی کسی بھی گنتی کو سنگل ٹیپ ٹورنگ مشین کے ذریعہ نقل کیا جاسکتا ہے، اگرچہ ضروری اقدامات کی تعداد میں ممکنہ کثیر الثانی اضافہ کے ساتھ۔
2. نان ڈیٹرمینسٹک ٹورنگ مشینیں (NTMs): یہ مشینیں ایک دی گئی حالت اور ان پٹ سمبل کے لیے متعدد ٹرانزیشنز کر سکتی ہیں، مؤثر طریقے سے متعدد کمپیوٹیشنل راستوں میں شاخیں بناتی ہیں۔ اگرچہ NTMs بیک وقت بہت سے کمپیوٹیشنل راستے تلاش کر سکتے ہیں، لیکن وہ کمپیوٹیشنل طور پر ڈیٹرمنسٹک ٹورنگ مشینوں (DTMs) کے برابر بھی ہیں۔ NTM کے ذریعے پہچانی جانے والی کوئی بھی زبان DTM کے ذریعے بھی پہچانی جا سکتی ہے، حالانکہ تخروپن کو بدترین صورت میں ایکسپونینشل وقت درکار ہو سکتا ہے۔
3. یونیورسل ٹورنگ مشینیں (UTMs): UTM ایک ٹورنگ مشین ہے جو کسی بھی دوسری ٹورنگ مشین کی تقلید کر سکتی ہے۔ یہ ان پٹ کے طور پر کسی دوسری ٹورنگ مشین کی تفصیل اور اس مشین کے لیے ایک ان پٹ سٹرنگ لیتا ہے۔ UTM پھر ان پٹ سٹرنگ پر بیان کردہ مشین کے رویے کی نقل کرتا ہے۔ UTMs کا وجود یہ ظاہر کرتا ہے کہ ایک واحد مشین کوئی بھی ایسی گنتی کر سکتی ہے جو کہ کوئی دوسری ٹورنگ مشین کر سکتی ہے، ٹورنگ مشین کے ماڈل کی عالمگیریت کو اجاگر کرتی ہے۔
4. نیم لامحدود ٹیپس کے ساتھ ٹورنگ مشینیں۔: ان مشینوں میں ٹیپس ہیں جو صرف ایک سمت میں لامحدود ہیں۔ وہ کمپیوٹیشنل طور پر معیاری ٹورنگ مشینوں کے مساوی ہیں، کیوں کہ نیم لامحدود ٹیپ ٹورنگ مشین کے ذریعے کی جانے والی کسی بھی کمپیوٹیشن کو ٹیپ کے مواد کی مناسب انکوڈنگ کے ساتھ معیاری ٹورنگ مشین کے ذریعے نقل کیا جا سکتا ہے۔
5. ایک سے زیادہ سروں کے ساتھ ٹورنگ مشینیں۔: ان مشینوں میں متعدد ٹیپ ہیڈز ہوتے ہیں جو ایک ہی ٹیپ پر پڑھ اور لکھ سکتے ہیں۔ ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشینوں کی طرح، ملٹی ہیڈ ٹورنگ مشینیں کمپیوٹیشنل طور پر سنگل ٹیپ ٹورنگ مشینوں کے مساوی ہوتی ہیں، جن کے لیے ممکنہ طور پر اضافی اقدامات کی ضرورت ہوتی ہے۔
6. متبادل ٹورنگ مشینیں (اے ٹی ایم): یہ مشینیں ریاستوں کو وجودی یا عالمگیر کے طور پر نامزد کرنے کی اجازت دے کر NTMs کو عام کرتی ہیں۔ ATM ایک ان پٹ کو قبول کرتا ہے اگر ابتدائی حالت سے کسی قبول کرنے والی حالت میں حرکت کا سلسلہ موجود ہو جو وجودی اور آفاقی حالات کو پورا کرتا ہو۔ ATMs ان زبانوں کے لحاظ سے بھی ڈی ٹی ایم کے برابر ہیں جنہیں وہ پہچانتے ہیں، حالانکہ پیچیدگی کی کلاسیں جن کی وہ خصوصیت رکھتے ہیں، جیسے کہ کثیر الثانی درجہ بندی، مختلف ہوتی ہے۔
7. کوانٹم ٹورنگ مشینیں (QTMs): یہ مشینیں کوانٹم میکانکس کے اصولوں کو شامل کرتی ہیں، جو ریاستوں کی سپرپوزیشن اور الجھنے کی اجازت دیتی ہیں۔ جبکہ کیو ٹی ایم کچھ مسائل کو کلاسیکی ٹورنگ مشینوں سے زیادہ مؤثر طریقے سے حل کر سکتے ہیں (مثال کے طور پر، شور کے الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے بڑے انٹیجرز کو فیکٹر کرنا)، وہ کمپیوٹیبل فنکشنز کی کلاس کے لحاظ سے زیادہ طاقتور نہیں ہیں۔ QTM کے ذریعہ کمپیوٹیبل کوئی بھی فنکشن کلاسیکل ٹورنگ مشین کے ذریعہ بھی شمار کیا جاسکتا ہے۔
کمپیوٹنگ کی صلاحیت میں مختلف ٹورنگ مشین کی مختلف حالتوں کی مساوات چرچ-ٹیورنگ تھیسس میں بنیاد رکھی گئی ہے۔ یہ مقالہ یہ پیش کرتا ہے کہ کسی بھی فنکشن کو جو کسی بھی معقول کمپیوٹیشنل ماڈل کے ذریعہ مؤثر طریقے سے شمار کیا جاسکتا ہے اسے ٹیورنگ مشین کے ذریعہ بھی شمار کیا جاسکتا ہے۔ نتیجتاً، ٹیورنگ مشینوں کی تمام متذکرہ بالا تغیرات فنکشن کی گنتی کرنے اور زبانوں کو پہچاننے کی ان کی صلاحیت کے لحاظ سے مساوی ہیں، اگرچہ ان کی کارکردگی یا تخروپن کی پیچیدگی میں فرق ہو سکتا ہے۔
اس مساوات کو واضح کرنے کے لیے، سنگل ٹیپ ٹورنگ مشین کا استعمال کرتے ہوئے ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشین کی نقل کرنے کے کام پر غور کریں۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس (k) ٹیپس والی ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشین ہے۔ ہم اس مشین کو سنگل ٹیپ ٹورنگ مشین کے ساتھ تمام (k) ٹیپس کے مواد کو ایک ہی ٹیپ پر انکوڈ کر کے نقل کر سکتے ہیں۔ سنگل ٹیپ مشین کی ٹیپ کو (k) حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، ہر ایک اصل ٹیپ میں سے ایک کی نمائندگی کرتا ہے۔ مشین کی حالت میں ہر ایک (k) ٹیپ پر ٹیپ کے سروں کی پوزیشن کے بارے میں معلومات شامل ہوسکتی ہے۔ سنگل ٹیپ مشین کے ٹرانزیشن فنکشن کو ملٹی ٹیپ مشین کے رویے کی نقل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا جا سکتا ہے اس کے مطابق انکوڈ شدہ ٹیپ کے مواد اور ہیڈ پوزیشن کو اپ ڈیٹ کر کے۔ اگرچہ اس تخروپن کے لیے اصل ملٹی ٹیپ مشین سے زیادہ اقدامات کی ضرورت ہو سکتی ہے، لیکن یہ ظاہر کرتا ہے کہ سنگل ٹیپ مشین ایک ہی کمپیوٹیشن کر سکتی ہے۔
اسی طرح، ڈیٹرمنسٹک ٹورنگ مشین کے ساتھ ایک نان ڈیٹرمنسٹک ٹورنگ مشین کی تقلید میں NTM کے تمام ممکنہ کمپیوٹیشنل راستوں کو منظم طریقے سے تلاش کرنا شامل ہے۔ یہ تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جا سکتا ہے جیسے کہ چوڑائی-پہلی تلاش یا گہرائی-پہلی تلاش، اس بات کو یقینی بناتے ہوئے کہ آخر کار تمام راستوں کی جانچ کی جائے۔ اگرچہ تخروپن تیزی سے سست ہو سکتا ہے، لیکن یہ اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ DTM وہی زبانوں کو پہچان سکتا ہے جیسے NTM۔
ٹورنگ مشینوں کی آفاقیت کی مثال یونیورسل ٹورنگ مشینوں کے وجود سے ملتی ہے۔ UTM کسی بھی دوسری ٹورنگ مشین کو ٹارگٹ مشین اور اس کے ان پٹ کی وضاحت کے ذریعے نقل کر سکتا ہے۔ یہ صلاحیت اس بنیادی اصول کی نشاندہی کرتی ہے کہ ایک واحد کمپیوٹیشنل ماڈل دوسرے تمام ماڈلز کے رویے کو سمیٹ سکتا ہے، جس سے کمپیوٹیشنل مساوات کے تصور کو تقویت ملتی ہے۔
اگرچہ ٹورنگ مشینوں کے مختلف تغیرات کارکردگی، پروگرامنگ میں آسانی، یا تصوراتی وضاحت کے لحاظ سے الگ الگ فوائد پیش کر سکتے ہیں، لیکن یہ سب کمپیوٹنگ کی صلاحیت میں برابر ہیں۔ یہ مساوات نظریاتی کمپیوٹر سائنس کی بنیاد ہے، جو حساب کی حدود اور فیصلہ کن صلاحیت کی نوعیت کو سمجھنے کے لیے ایک متحد فریم ورک فراہم کرتی ہے۔
سے متعلق دیگر حالیہ سوالات اور جوابات قابل حساب کام:
- ایک کمپیوٹیبل فنکشن اور ٹیورنگ مشین کے وجود کے درمیان تعلق کی وضاحت کریں جو اس کی گنتی کر سکتی ہے۔
- ایک کمپیوٹیبل فنکشن کی گنتی کرتے وقت ٹیورنگ مشین کی ہمیشہ رک جانے کی کیا اہمیت ہے؟
- کیا ٹیورنگ مشین کو ہمیشہ فنکشن قبول کرنے کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے؟ وضاحت کریں کیوں یا کیوں نہیں۔
- ٹورنگ مشین کسی فنکشن کی گنتی کیسے کرتی ہے اور ان پٹ اور آؤٹ پٹ ٹیپس کا کیا کردار ہے؟
- کمپیوٹیشنل کمپلیکٹی تھیوری کے تناظر میں ایک کمپیوٹیبل فنکشن کیا ہے اور اس کی تعریف کیسے کی جاتی ہے؟