یہ سوال کہ آیا ٹیورنگ مشین کے رکنے کا مسئلہ قابلِ فیصلہ ہے، نظریاتی کمپیوٹر سائنس کے میدان میں، خاص طور پر کمپیوٹیشنل پیچیدگی کے نظریہ اور فیصلہ سازی کے دائروں میں ایک بنیادی مسئلہ ہے۔ رکنے کا مسئلہ ایک فیصلے کا مسئلہ ہے جسے غیر رسمی طور پر اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: ٹورنگ مشین اور ایک ان پٹ کی تفصیل کے پیش نظر، اس بات کا تعین کریں کہ آیا ٹیورنگ مشین اس ان پٹ کے ساتھ چلنے پر رک جائے گی، یا یہ ہمیشہ کے لیے چلے گی۔
رکنے کے مسئلے کی فیصلہ کن صلاحیت کو حل کرنے کے لیے، خود فیصلہ کن صلاحیت کے تصور کو سمجھنا ضروری ہے۔ کسی مسئلے کو فیصلہ کرنے کے قابل کہا جاتا ہے اگر کوئی الگورتھم موجود ہو جو ایک مقررہ وقت میں مسئلے کی ہر مثال کے لیے ہاں یا نہیں کا درست جواب دے سکے۔ اس کے برعکس، اگر ایسا کوئی الگورتھم موجود نہ ہو تو مسئلہ ناقابلِ فیصلہ ہے۔
رکنے کا مسئلہ سب سے پہلے 1936 میں ایلن ٹیورنگ نے متعارف کرایا تھا اور اسے ناقابل فیصلہ ثابت کیا تھا۔ ٹورنگ کا ثبوت ترچھی دلیل کی ایک بہترین مثال ہے اور اس میں خود حوالہ اور تضاد کا ہوشیار استعمال شامل ہے۔ ثبوت کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے:
1. فیصلہ کن صلاحیت کا مفروضہ: مان لیں، تضاد کی خاطر، کہ ایک ٹورنگ مشین ( H ) موجود ہے جو رکنے کے مسئلے کا فیصلہ کر سکتی ہے۔ یعنی، (H) ان پٹ ایک جوڑے کے طور پر لیتا ہے ( (M, w))، جہاں (M) ایک ٹورنگ مشین کی تفصیل ہے اور (w) ایک ان پٹ سٹرنگ ہے، اور (H(M، w)) واپس آتی ہے " ہاں" اگر (M) (w) پر رکتا ہے اور "نہیں" اگر (M) (w) پر نہیں رکتا ہے۔
2. پیراڈوکسیکل مشین کی تعمیر: ( H ) کا استعمال کرتے ہوئے، ایک نئی ٹورنگ مشین ( D ) بنائیں جو ایک ہی ان پٹ ( M ) ( ٹورنگ مشین کی تفصیل) لیتی ہے اور اس طرح برتاؤ کرتی ہے:
- ( D(M)) رنز (H(M, M))۔
- اگر ( H(M, M) ) "نہیں" لوٹاتا ہے، تو (D(M)) رک جاتا ہے۔
- اگر ( H(M, M) ) "yes" لوٹاتا ہے، تو (D(M)) ایک لامحدود لوپ میں داخل ہوتا ہے۔
3. خود حوالہ اور تضاد: ( D ) کے رویے پر غور کریں جب اسے بطور ان پٹ اس کی اپنی تفصیل دی جاتی ہے۔ آئیے ( d ) کو ( D ) کی تفصیل بنائیں۔ پھر ہمارے پاس دو صورتیں ہیں:
- اگر (D(d)) رک جاتا ہے، تو (D) کی تعریف کے مطابق، (H(d، d) ) کو "no" لوٹنا چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ (D(d)) کو روکنا نہیں چاہیے — ایک تضاد۔
– اگر (D(d)) نہیں رکتا ہے، تو (D) کی تعریف کے مطابق، (H(d) ) کو "yes" لوٹنا چاہیے، جس کا مطلب ہے (D(d)) کو روکنا چاہیے — دوبارہ، ایک تضاد .
چونکہ دونوں صورتیں ایک تضاد کی طرف لے جاتی ہیں، اس لیے ابتدائی مفروضہ کہ (H) موجود ہے غلط ہونا چاہیے۔ لہذا، رکنے کا مسئلہ ناقابلِ فیصلہ ہے۔
یہ ثبوت یہ ظاہر کرتا ہے کہ کوئی عمومی الگورتھم نہیں ہے جو تمام ممکنہ ٹورنگ مشینوں اور ان پٹ کے لیے رکنے کے مسئلے کو حل کر سکے۔ روکے جانے والے مسئلے کی غیر فیصلہ کنیت کے حساب کی حدود پر گہرے مضمرات ہیں اور الگورتھم سے کیا طے کیا جا سکتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ جس چیز کی گنتی کی جا سکتی ہے اس کی موروثی حدود ہیں، اور کچھ مسائل کسی بھی الگورتھم کی پہنچ سے باہر ہیں۔
رکنے کے مسئلے کے مضمرات کو مزید واضح کرنے کے لیے، درج ذیل مثالوں پر غور کریں:
- پروگرام کی تصدیق: کوئی اس بات کی تصدیق کرنا چاہے گا کہ دیا گیا پروگرام تمام ممکنہ ان پٹ کے لیے ختم ہو گیا ہے۔ رکنے کے مسئلے کے بارے میں فیصلہ نہ کرنے کی وجہ سے، ایک عام مقصد کے پروگرام کی تصدیق کنندہ بنانا ناممکن ہے جو ہر ممکنہ پروگرام اور ان پٹ کے لیے، پروگرام رک جائے گا یا نہیں۔
- سیکیورٹی تجزیہ۔: سائبرسیکیوریٹی میں، کوئی یہ تجزیہ کرنا چاہتا ہے کہ آیا میلویئر کا ایک ٹکڑا آخر کار عمل کرنا بند کر دے گا۔ رکنے کے مسئلے کی ناقابلِ فیصلہ ہونے کا مطلب یہ ہے کہ کوئی عمومی الگورتھم نہیں ہے جو اس بات کا تعین کر سکے کہ آیا کوئی بھی مالویئر رک جائے گا۔
- ریاضی کے ثبوت: رکنے کا مسئلہ Gödel کے نامکمل ہونے کے نظریات سے متعلق ہے، جو یہ بتاتے ہیں کہ کسی بھی کافی طاقتور رسمی نظام میں، ایسے سچے بیانات ہوتے ہیں جو نظام کے اندر ثابت نہیں ہوتے۔ روکے جانے والے مسئلے کی غیر فیصلہ کنیت سے پتہ چلتا ہے کہ الگورتھم کے رویے کے بارے میں سوالات ہیں جن کا جواب الگورتھمک کمپیوٹیشن کے فریم ورک میں نہیں دیا جا سکتا۔
رکنے کے مسئلے کی ناقابلِ فیصلہیت بھی تصور کی طرف لے جاتی ہے۔ کمی کی صلاحیت کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری میں۔ ایک مسئلہ (A) کو کسی مسئلے (B) میں کمی کے قابل کہا جاتا ہے اگر (A) کو حل کرنے کے لئے (B) کا حل استعمال کیا جاسکتا ہے۔ اگر رکنے کا مسئلہ قابلِ فیصلہ تھا، تو پھر بہت سے دوسرے ناقابلِ فیصلہ مسائل کا بھی فیصلہ رکنے کے مسئلے کو کم کر کے کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، چونکہ رکنے کا مسئلہ ناقابلِ فیصلہ ہے، اس لیے کوئی بھی مسئلہ جسے رکنے کے مسئلے میں کم کیا جا سکتا ہے وہ بھی ناقابلِ فیصلہ ہے۔
ٹورنگ مشین کے رکنے کا مسئلہ ناقابلِ فیصلہ ہے۔ یہ نتیجہ نظریاتی کمپیوٹر سائنس کا سنگ بنیاد ہے اور اس کے ہمارے حساب، الگورتھمک حدود، اور ریاضیاتی سچائی کی نوعیت کے بارے میں ہماری سمجھ کے لیے دور رس اثرات ہیں۔
سے متعلق دیگر حالیہ سوالات اور جوابات فیصلہ کن ہونا:
- کیا ٹیپ کو ان پٹ کے سائز تک محدود کیا جا سکتا ہے (جو ٹیورنگ مشین کے سر کے برابر ہے جو ٹی ایم ٹیپ کے ان پٹ سے آگے بڑھنے کے لیے محدود ہے)؟
- ٹورنگ مشینوں کے مختلف تغیرات کا کمپیوٹنگ کی اہلیت میں مساوی ہونے کا کیا مطلب ہے؟
- کیا ٹیورنگ قابل شناخت زبان فیصلہ کن زبان کا ذیلی سیٹ بنا سکتی ہے؟
- اگر ہمارے پاس دو TMs ہیں جو قابل فیصلہ زبان کی وضاحت کرتے ہیں تو کیا مساوات کا سوال اب بھی ناقابل فیصلہ ہے؟
- لکیری باؤنڈڈ آٹو میٹا کے لیے قبولیت کا مسئلہ ٹورنگ مشینوں سے کیسے مختلف ہے؟
- کسی مسئلے کی مثال دیں جس کا فیصلہ لکیری باؤنڈڈ آٹومیٹن کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔
- لکیری باؤنڈڈ آٹومیٹا کے تناظر میں فیصلہ کن صلاحیت کے تصور کی وضاحت کریں۔
- لکیری باؤنڈڈ آٹومیٹا میں ٹیپ کا سائز مختلف کنفیگریشنز کی تعداد کو کیسے متاثر کرتا ہے؟
- لکیری باؤنڈڈ آٹومیٹا اور ٹورنگ مشینوں میں بنیادی فرق کیا ہے؟
- پی سی پی کے لیے ٹیورنگ مشین کو ٹائلوں کے سیٹ میں تبدیل کرنے کے عمل کی وضاحت کریں، اور یہ ٹائلیں حساب کی تاریخ کی نمائندگی کیسے کرتی ہیں۔
Decidability میں مزید سوالات اور جوابات دیکھیں