پمپنگ لیما کے مطابق زبان کے باقاعدہ ہونے کے لیے وہ تین شرائط کیا ہیں جن کا پورا ہونا ضروری ہے؟
پمپنگ لیما کمپیوٹیشنل کمپلیکٹی تھیوری کے میدان میں ایک بنیادی ٹول ہے جو ہمیں یہ تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ کوئی زبان باقاعدہ ہے یا نہیں۔ پمپنگ لیما کے مطابق، کسی زبان کے باقاعدہ ہونے کے لیے، تین شرائط کو پورا کرنا ضروری ہے۔ یہ شرائط درج ذیل ہیں:
1. لمبائی کی شرط: پہلی شرط یہ بتاتی ہے کہ زبان میں کسی بھی اسٹرنگ کے لیے جو کافی لمبا ہو، اس سٹرنگ کے تین حصوں، u، v اور w میں ٹوٹ پھوٹ کا وجود ہوتا ہے، اس طرح کہ v کی لمبائی صفر سے زیادہ ہوتی ہے اور ایک مستقل قدر سے کم یا اس کے برابر، اور u، v، اور w کا جوڑ ابھی بھی زبان میں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، زبان میں تاروں پر مشتمل ہونا چاہیے جنہیں تین حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جہاں درمیانی حصے کو کئی بار دہرایا جا سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں آنے والی تار زبان میں موجود ہے۔
2. پمپنگ کنڈیشن: دوسری شرط یہ بتاتی ہے کہ زبان میں کسی بھی اسٹرنگ کے لیے جو لمبائی کی شرط کو پورا کرتی ہے، اسٹرنگ کے درمیانی حصے کو کئی بار "پمپ" کرنا ممکن ہے اور پھر بھی زبان میں موجود سٹرنگ حاصل کرنا ممکن ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ درمیانی حصے کو دہرانے سے، نتیجے میں آنے والی تار کا تعلق زبان سے ہونا چاہیے۔
3. رکنیت کی شرط: تیسری شرط یہ بتاتی ہے کہ زبان میں کسی بھی اسٹرنگ کے لیے جو لمبائی اور پمپنگ کی شرائط کو پورا کرتی ہے، وہاں ایک پمپنگ لینتھ ہونا ضروری ہے، جسے p کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اس طرح کہ p سے زیادہ لمبی کسی بھی تار کو پمپ کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ پمپنگ کی لمبائی سے زیادہ لمبی تاروں کے لیے، یہ ہمیشہ ممکن ہے کہ سڑن کو تلاش کیا جائے اور درمیانی حصے کو دہرایا جائے تاکہ ایسی تار حاصل کی جائے جو ابھی تک زبان میں ہے۔
ان حالات کو واضح کرنے کے لیے آئیے ایک مثال پر غور کریں۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک زبان ہے L = {0^n1^n | n ≥ 0}، جو 0 کی تاروں پر مشتمل ہوتا ہے جس کے بعد 1 کا ایک ہی نمبر آتا ہے۔ ہم یہ تعین کرنے کے لیے پمپنگ لیما لگا سکتے ہیں کہ آیا یہ زبان باقاعدہ ہے۔
1. لمبائی کی حالت: آئیے فرض کریں کہ پمپنگ کی لمبائی p ہے۔ سٹرنگ s = 0^p1^p پر غور کریں۔ ہم اس سٹرنگ کو تین حصوں میں تحلیل کر سکتے ہیں: u = 0^k، v = 0^l، اور w = 1^p، جہاں k + l ≤ p اور l > 0۔ چونکہ v میں صرف 0's ہوتا ہے، v پمپ کرنے کا نتیجہ نکلے گا۔ ایک سٹرنگ جس میں 0 سے زیادہ 1 ہیں، زبان L کی خلاف ورزی کرتے ہیں۔ لہذا، لمبائی کی شرط مطمئن نہیں ہے۔
چونکہ لمبائی کی شرط مطمئن نہیں ہے، ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ زبان L = {0^n1^n | n ≥ 0} پمپنگ لیما کے مطابق باقاعدہ نہیں ہے۔
پمپنگ لیما کے مطابق زبان کے باقاعدہ ہونے کے لیے جن تین شرائط کا پورا ہونا ضروری ہے وہ ہیں لمبائی کی شرط، پمپنگ کی شرط، اور رکنیت کی شرط۔ یہ حالات کمپیوٹیشنل پیچیدگی تھیوری کے میدان میں زبانوں کی باقاعدگی کا تعین کرنے کے لیے ایک طاقتور ٹول فراہم کرتے ہیں۔
سے متعلق دیگر حالیہ سوالات اور جوابات EITC/IS/CCTF کمپیوٹیشنل کمپلیکسٹی تھیوری کے بنیادی اصول:
- کیا باقاعدہ زبانیں Finite State Machines کے برابر ہیں؟
- کیا PSPACE کلاس EXPSPACE کلاس کے برابر نہیں ہے؟
- کیا الگورتھم کے لحاظ سے کمپیوٹیبل مسئلہ چرچ ٹورنگ تھیسس کے مطابق ٹیورنگ مشین کے ذریعہ شمار کیا جا سکتا ہے؟
- کنکٹنیشن کے تحت باقاعدہ زبانوں کی بندش کی خاصیت کیا ہے؟ دو مشینوں کے ذریعہ تسلیم شدہ زبانوں کے اتحاد کی نمائندگی کرنے کے لئے محدود ریاستی مشینیں کس طرح جوڑ دی جاتی ہیں؟
- کیا ہر صوابدیدی مسئلہ کو بطور زبان بیان کیا جا سکتا ہے؟
- کیا P پیچیدگی کلاس PSPACE کلاس کا سب سیٹ ہے؟
- کیا ہر ملٹی ٹیپ ٹورنگ مشین میں مساوی سنگل ٹیپ ٹورنگ مشین ہوتی ہے؟
- predicates کے نتائج کیا ہیں؟
- کیا لیمبڈا کیلکولس اور ٹیورنگ مشینیں کمپیوٹیبل ماڈل ہیں جو اس سوال کا جواب دیتی ہیں کہ کمپیوٹیبل کا کیا مطلب ہے؟
- کیا ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ Np اور P کلاس یکساں ہیں کسی بھی NP مکمل مسئلے کے لیے ایک مؤثر کثیر الثانی حل تلاش کر کے ایک deterministic TM پر؟
EITC/IS/CCTF کمپیوٹیشنل کمپلیکسٹی تھیوری کے بنیادی اصولوں میں مزید سوالات اور جوابات دیکھیں