کیا کوانٹم ریاستوں کے طول و عرض ہمیشہ حقیقی اعداد ہوتے ہیں؟

/ / میں شائع کوانٹم معلومات, EITC/QI/QIF کوانٹم معلومات کے بنیادی اصول, شروع, جائزہ

کوانٹم معلومات کے دائرے میں، کوانٹم سٹیٹس اور ان سے منسلک طول و عرض کا تصور بنیادی ہے۔ اس سوال کو حل کرنے کے لیے کہ آیا کوانٹم ریاست کا طول و عرض ایک حقیقی عدد ہونا چاہیے، یہ ضروری ہے کہ کوانٹم میکانکس کی ریاضیاتی رسمیت اور ان اصولوں پر غور کیا جائے جو کوانٹم ریاستوں پر حکومت کرتے ہیں۔

کوانٹم میکینکس ریاضیاتی آبجیکٹ کا استعمال کرتے ہوئے کوانٹم سسٹم کی حالت کی نمائندگی کرتا ہے جسے ویو فنکشن یا اسٹیٹ ویکٹر کہا جاتا ہے، عام طور پر ڈیراک نوٹیشن میں ( psi ) (psi) یا ( ket{psi} ) سے ظاہر ہوتا ہے۔ یہ ریاستی ویکٹر ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس میں رہتا ہے جسے ہلبرٹ اسپیس کہتے ہیں۔ اس اسپیس کے عناصر، ریاستی ویکٹر، عام طور پر پیچیدہ قابل قدر افعال ہوتے ہیں۔

کوانٹم حالت کے طول و عرض سے مراد وہ گتانک ہیں جو ریاست کے ویکٹر کی توسیع میں ایک منتخب بنیاد کے لحاظ سے ظاہر ہوتے ہیں۔ ایک کوانٹم سسٹم کے لیے جسے ریاستی ویکٹر ( ket{psi}) کے ذریعے بیان کیا گیا ہے، اگر ہم اس حالت کو بنیاد کے لحاظ سے ظاہر کرتے ہیں ( { ket{phi_i} }) تو ہمارے پاس ہے:

[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]

یہاں، ( c_i ) بنیادی حالتوں سے وابستہ پیچیدہ طول و عرض ہیں ( ket{phi_i} )۔ یہ طول و عرض ( c_i ) عام طور پر پیچیدہ اعداد ہیں۔ یہ اندرونی مصنوعات کی جگہ کے مکمل ہونے اور کوانٹم سپرپوزیشن اور مداخلت کے اصولوں کو ایڈجسٹ کرنے کی ضرورت کا براہ راست نتیجہ ہے۔

طول و عرض کی پیچیدہ نوعیت کئی وجوہات کی بناء پر اہم ہے:

1. سپر پوزیشن کا اصول: کوانٹم میکانکس ریاستوں کے سپرپوزیشن کی اجازت دیتا ہے۔ اگر ( ket{psi_1} ) اور ( ket{psi_2} ) دو درست کوانٹم حالتیں ہیں، تو کوئی بھی لکیری مجموعہ ( الفا کیٹ{psi_1} + بیٹا کیٹ{psi_2})، جہاں ( alpha ) اور ( beta ) پیچیدہ اعداد ہیں، ایک درست کوانٹم حالت بھی ہے۔ پیچیدہ گتانک (الفا) اور (بیٹا) سپرپوزیشن میں متعلقہ ریاستوں کے طول و عرض کی نمائندگی کرتے ہیں۔

2. احتمال کی تشریح: کوانٹم سسٹم میں کسی خاص نتیجہ کی پیمائش کا امکان طول و عرض کے ماڈیولس مربع سے طے ہوتا ہے۔ اگر ( c_i ) کسی حالت کا طول و عرض ہے ( ket{phi_i})، حالت کی پیمائش کا امکان ( P_i ) ( ket{phi_i} ) کے ذریعہ دیا گیا ہے:

[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]

جہاں ( c_i^* ) ( c_i ) کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے۔ یہ امکان 0 اور 1 کے درمیان حقیقی نمبر ہونا چاہیے، لیکن طول و عرض ( c_i ) خود پیچیدہ ہو سکتا ہے۔

3. مداخلت کے اثرات: مداخلت کے مظاہر کو بیان کرنے کے لیے طول و عرض کی پیچیدہ نوعیت ضروری ہے۔ جب دو یا دو سے زیادہ کوانٹم راستے مداخلت کرتے ہیں، نتیجے میں پیدا ہونے والا طول و عرض انفرادی طول و عرض کا مجموعہ ہے، اور ان پیچیدہ طول و عرض کے درمیان مرحلے کا فرق تعمیری یا تباہ کن مداخلت کا باعث بنتا ہے۔ یہ مظاہر کا ایک بنیادی پہلو ہے جیسے کہ ڈبل سلٹ تجربہ۔

4. وحدانی ارتقاء: کوانٹم حالت کا وقتی ارتقاء شروڈنگر مساوات سے چلتا ہے، جس میں ہیملٹونین آپریٹر شامل ہوتا ہے۔ اس مساوات کے حل عام طور پر پیچیدہ افعال ہیں۔ وحدانی آپریٹرز جو ارتقاء کو بیان کرتے ہیں وہ ریاستی ویکٹر کے معمول کو برقرار رکھتے ہیں لیکن اس کے مرحلے کو تبدیل کر سکتے ہیں، اس طرح طول و عرض کو پیچیدہ ہونے کی ضرورت ہوتی ہے۔

ان نکات کو واضح کرنے کے لیے، کوانٹم معلومات کی بنیادی اکائی، qubit کی ایک سادہ مثال پر غور کریں۔ ایک qubit بنیادی حالتوں ( ket{0} ) اور ( ket{1} ):

[ ket{psi} = الفا کیٹ{0} + بیٹا کیٹ{1} ]

یہاں، ( الفا ) اور ( بیٹا ) پیچیدہ اعداد ہیں جیسے کہ ( | الفا | ^ 2 + | بیٹا | ^ 2 = 1)۔ نارملائزیشن کی یہ حالت اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ کوئی بھی حالت ( ket{0} ) یا ( ket{1} ) میں کیوبٹ تلاش کرنے کا کل امکان 1 ہے۔ ( الفا ) اور ( بیٹا ) کی پیچیدہ نوعیت کوانٹم ریاستوں کی بھرپور ساخت کی اجازت دیتی ہے۔ اور کوانٹم کمپیوٹیشن اور انفارمیشن پروسیسنگ کے کاموں کے لیے ضروری ہے۔

مثال کے طور پر، Hadamard گیٹ پر غور کریں، ایک بنیادی کوانٹم گیٹ جو سپر پوزیشن سٹیٹس بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ جب بنیاد حالت پر لاگو کیا جاتا ہے ( ket{0} )، Hadamard گیٹ ریاست پیدا کرتا ہے:

[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1})]

یہاں ( ket{0} ) اور ( ket{1} ) دونوں کے لیے طول و عرض ( frac{1}{sqrt{2}} ) ہے، جو ایک حقیقی عدد ہے۔ تاہم، اگر ہم ریاست ( ket{1} ) پر حدمرد گیٹ کا اطلاق کرتے ہیں تو ہمیں حاصل ہوتا ہے:

[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1})]

اس صورت میں، ( ket{1} ) کا طول و عرض ( -frac{1}{sqrt{2}}) ہے، جو اب بھی حقیقی ہے۔ بہر حال، ایک فیز گیٹ پر غور کریں، جو ایک پیچیدہ فیز فیکٹر متعارف کراتا ہے۔ فیز گیٹ ( R(theta) ) qubit حالت پر کام کرتا ہے ( ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1} ) اس طرح:

[ R(theta) ket{psi} = alpha ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]

یہاں، ( e^{itheta} ) اکائی ماڈیولس کے ساتھ ایک پیچیدہ عدد ہے۔ یہ آپریشن واضح طور پر ظاہر کرتا ہے کہ ریاست کا طول و عرض ( ket{1} ) کوانٹم میکانکس میں پیچیدہ طول و عرض کی ضرورت پر زور دیتے ہوئے، ایک پیچیدہ مرحلے کا عنصر حاصل کر سکتا ہے۔

مزید برآں، کوانٹم اینگلمنٹ کے رجحان پر غور کریں، جہاں ایک ذرہ کی حالت اندرونی طور پر دوسرے کی حالت سے جڑی ہوتی ہے، قطع نظر ان کے درمیان فاصلہ کچھ بھی ہو۔ دو کوئبٹس کی الجھی ہوئی حالت کی نمائندگی اس طرح کی جا سکتی ہے:

[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11})]

یہاں، ( e^{iphi} ) ایک پیچیدہ فیز فیکٹر ہے، جو یہ ظاہر کرتا ہے کہ الجھی ہوئی حالت کے اجزاء کے درمیان رشتہ دار مرحلہ الجھنے کی خصوصیات کو بیان کرنے کے لیے اہم ہے۔

کوانٹم کمپیوٹنگ میں، کوانٹم الگورتھم کے نفاذ کے لیے پیچیدہ طول و عرض کا استعمال ناگزیر ہے۔ مثال کے طور پر، بڑے انٹیجرز کو فیکٹر کرنے کے لیے شور کا الگورتھم اور غیر ساختہ تلاش کے لیے گروور کا الگورتھم، دونوں کلاسیکی الگورتھم کے مقابلے میں اپنی تیز رفتاری حاصل کرنے کے لیے پیچیدہ طول و عرض کی مداخلت پر انحصار کرتے ہیں۔

پیچیدہ طول و عرض کی ضرورت کوانٹم غلطی کی اصلاح کے تناظر میں بھی واضح ہے۔ کوانٹم غلطی کو درست کرنے والے کوڈز، جیسے شور کوڈ یا سٹین کوڈ، منطقی کوبٹس کو متعدد فزیکل کیوبٹس کی الجھی ہوئی حالتوں میں انکوڈ کرتے ہیں۔ ان کوڈز میں پیچیدہ طول و عرض اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ کوانٹم معلومات کو ختم کیے بغیر غلطیوں کا پتہ لگایا اور درست کیا جا سکتا ہے۔

کوانٹم حالت کے طول و عرض کو حقیقی تعداد کی ضرورت نہیں ہے۔ کوانٹم طول و عرض کی پیچیدہ نوعیت کوانٹم میکانکس کا ایک بنیادی پہلو ہے، جو سپرپوزیشن، مداخلت، اور الجھن کی وضاحت کو قابل بناتا ہے۔ کوانٹم تھیوری کی ریاضیاتی مستقل مزاجی اور کوانٹم انفارمیشن پروسیسنگ کے کاموں کے عملی نفاذ کے لیے پیچیدہ اعداد کا استعمال ضروری ہے۔

سے متعلق دیگر حالیہ سوالات اور جوابات EITC/QI/QIF کوانٹم معلومات کے بنیادی اصول:

مزید سوالات اور جوابات EITC/QI/QIF کوانٹم انفارمیشن بنیادی اصولوں میں دیکھیں

مزید سوالات اور جوابات:

ٹیگ کے تحت: , , , , ,